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Come Fare per Ortogonalizzare e Ortonormalizzare una Base

Durante lo studio delle Matrici, in Geometria analitica, molto riccorrente è l’ortonormalizzazione e l’ortogonalizzazione di una base, all’interno di un esercizio. In realtà conoscendo la formula ed i passaggi non è molto difficile fare ciò, ma bisogna stare davvero molto attenti anche a tutti i calcoli che facciamo e che spesso sbagiamo. Ecco a voi il procedimento.

Ortogonalizzare una base significa prendere una base iniziale (che ci dovrebbe dare la traccia) e costruire le componenti ortogonali dei vettori rispetto ad un vettore principale della base che noi scegliamo. Ecco un Esempio: la base presenta tre vettori che chiamiamo u, v, w. Ora scegliamo un vettore, quello che ci permetterà di fare meno calcoli. Sia u il promo vettore, costruiremo la componente ortogonale di v rispetto ad u attraverso la seguente formula: V-1 = v – proiezione di u su v. La proiezione di u su v non è altro che [v scalare u ] x (u). Il vettore risultante sarà ortogonalizzato.

Per ortogonalizzare tutti gli altri vettori basta reiterare il discorso fatto nel passo 1: Per ortogonalizzare il vettore w, è necessario rifarci alla formula precendente, utilizzeremo la seguente formula: W-1 = w – proiezione di w su u – proiezione di w su v. Proiezione di w su u = [w scalare u ] x (u). Proiezione di w su v = [w scalare v ] x (v). Fatto ciò avremo tutti i vettori ortogonalizzati.

L’ortonormalizzazione si rifà per quanto riguarda il procedimento, all’ortogonalizzazione: Prendiamo in esempio tre vettori u, v, w. Ora dobbiamo costruire i vettori ortonormali in base ad uno dei tre vettori. Se scegliamo ad esempio u , la prima cosa da fare è dividerlo per la sua norma: (u) \ |u|. La norma è la radice della somma del quadrato di tutte le componenti del vettore. Fatto ciò, utilizziamo il vettore risultante per come volessimo ortogonalizzare i vettori, quindi utilizzeremo le stesse formule di prima, solo che questa volta, il vettore ortogonalizzato lo dividiamo per la norma del vettore non ancora ortogonalizzato.